第一章函数

2025-08-13 11:36 40 次浏览

## 集合的定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集 合的事物或对象称作 "元素" 或 “成员"。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
元素通常用 $a, b, c, d, x$ 等小写字母來表示；而集合通常用 $A, B, C, D, X$ 等大寫字母來表示。

当元素 $a$ 属于集合 $\mathbf{A}$ 時，记作 $a \in \mathbf{A}$ 。
当元素 $a$ 不属于集合 $\mathbf{A}$ 时，记作 $a \notin \mathbf{A}$ 。

如果 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$

## 集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

## 集合的表示

集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如:
$A=\text { 大于零的前三个自然数 }$
$B=\text { 光的三原色和白色 }$

集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如:

$C=\{1,2,3\}$

$D=\{$ 红色, 蓝色, 绿色, 白色 $\}$
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。

比如：上述集合中， $A=C$ 而 $B=D$ ，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 $\{2,4\} ，\{4,2\}$ 和 $\{2,2,4,2\}$ 是相同的，同样因为它们有相同的元素。
集合的关系

我们来研究 2 个集合，于是有了集合之间的关系。

第一个重要的概念就是子集。首先，我们规定空集是任意集合的子集! 若 $A$ 不是空集，若 $A$ 中的任意元素都是 $B$ 中的元素，我们称 $A$ 是 $B$ 的子集(subset)，记做 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 或 者 $B \supseteq A_{\text {。 }}$

$$
A \subseteq B=\left\{\begin{array}{c}
A=\emptyset \\forall a \in A, a \in B(A \neq \emptyset)
\end{array}\right.
$$

例如: "集合 $A=\{x \mid a-1<x<2 a\}$ 是集合 $B=\{x \mid-2<x<5\}$ 的子集"这句话翻译为数学语言包括:

情况①： $A=\emptyset$
即 $2 a \leq a-1 \Leftrightarrow a \leq-1$ ， 这时 $A=\emptyset$ 一定是集合 $B$ 的子集
情况② : $A \neq \emptyset$ ，即 $a>-1$

这时还需要满足: $\left\{\begin{array}{c}a-1 \geq-2 \\ 2 a \leq 5\end{array}\right.$ 即

$-1<a<\frac{5}{2}$

综合起来， $a \leq \frac{5}{2}$ 就是 "集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集"

这句话翻译后的数学语言
若 $A \subseteq B$ 且 $A \supseteq B$ ，称集合 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 相等，记为 $A=B$ 。

## 常用集合的记法

(1) 所有非负整数组成的集合, 称为自然数集, 记作 $\mathbf{N}$.

在自然数集 $\mathbf{N}$ 中, 去掉元素 0 之后的集合, 称为正整数集, 记作 $\mathbf{N}_{+}$或 $\mathbf{N}^*$.

(2) 所有整数组成的集合, 称为整数集, 记作 $\mathbf{Z}$.

(3) 所有有理数组成的集合, 称为有理数集, 记作 $\mathbf{Q}$.

(4) 所有实数组成的集合, 称为实数集, 记作 $\mathbf{R}$.

(5) 全体复数组成的集合叫复数集, 记作 $C$.

N：是英语大词 Natural Number 的首字母（通常记忆为Number首字母）。
Z：是德语Zahl 的首字母（通常记忆为Zero首字母），
Q: 是Quotient 商的首字母
R:是 Real  Number的首字母
C:是 Complex Number 首字母。

有了集合，就可以很容易表示他们的关系。
 
## 真子集

若 $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$ 且存在一个元素 $b \in B, b \notin A$ ，我们称 $\mathrm{A}$ 是 $\mathrm{B}$ 的真子集(proper subset)，记为 $\mathrm{A} \subset \mathrm{B}$ 或者 $\mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B}$ 。

**例题1**
已知集合 $A=\{  a+2, (a+1)^2, a^2+3a+3 )\}$, 若 $ 1  \in A$,求实数$a$的值。
解析：
（1）若$a+2=1$，则$a=-1$,带入得A的集合为 $A=\{1,0,1\}$ 含有重复元素舍去。
（2）若 $(a+1)^2=1$ 的$a=-2$或$a=0$ 此时$A=\{ 0,1,1\}$(含有重复元素舍去) 或$A=\{ 2,1,3 \}$ 满足
（3）若$a^2+3a+3=1$解得$a=-1$或 $a=-2$ 含有重复元素应该舍去。
所以，最终 $a=0$

## 维恩图

如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．例如，A是B的真子集，可用下表示．

`例` (单选)设集合 $A, B, C$ 均为非空集合．
A．若 $A \cap B=B \cap C$ ，则 $A=C$
B．若 $A \cup B=B \cup C$ ，则 $A=C$
C．若 $A \cap B=B \cup C$ ，则 $C \subseteq B$
D．若 $A \cup B=B \cap C$ ，则 $C \subseteq B$

解析：对于 $A , A \cap B=B \cap C$ ，当 $A=\{1,2\}, B=\{1\}, C=\{1,2,3\}$ 时，结论不成立，则 A错误；
对于 B，$A \cup B=B \cup C$ ，当 $A=\{1,2\}, B=\{3\}, C=\{1,2,3\}$ 时，结论不成立，则 $B$ 错误；对于 C ，因为 $A \cap B \subseteq B, A \cap B=B \cup C$ ，所以 $B \cup C \subseteq B$ ，又 $B \subseteq B \cup C$ ，所以 $B=B \cup C$ ，则 $C \subseteq B$ ，则 C 正确；

对于 D，$A \cup B=B \cap C$ ，当 $A=\{1\}, B=\{1,2\}, C=\{1,2,3\}$ 时，结论不成立，则 D 错误；故选：C．

方法总结：（1）若 $B \subseteq A$ ，应分 $B=\varnothing$ 和 $B \neq \varnothing$ 两种情况讨论．
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴，Venn 图，化抽象为直观进行求解．

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第一章 函数

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